문과생 취업자를 위한 미분 3분 요약 특강

미적분은 요즘 한창 뜨고 있는

빅 데이터 분석에서도 아주 기본이 되는 이론이죠?

이 포스팅은 3분 정도만 투자하면

미분을 아주 쉽게 이해할 수 있게 설명해놓은 포스팅입니다.

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미분이란 무엇일까? 

한 마디로 정의하자면 미분은,  

변화를 분석하는 것

-이라고 할 수 있습니다.

다음과 같은 그래프를 통해 살펴봅시다.

 

이 곡선 위의 점 하나하나를 보면 수많은 화살표의 모임과 같을 겁니다.

→↗↗→↗

이런 식으로 움직였다면 이것들이 모여서 곡선의 형태가 된다는 것이죠.

직선의 경우라면, 미분한 결과는 '기울기'가 됩니다.

이런 곡선을 제트코스터 같은 놀이기구라고 생각해봅시다.

이 제트코스터에 탄 사람은 열차의 궤적에 따라 움직이겠죠.

이 궤도는 곡선의 형태로 끊임없이 구불구불 굽어 있기 때문에

매순간 그 점들의 방향과 속도가 바뀌게 됩니다. 

자, 수학으로 다시 돌아와서요,

제트코스터의 한 시점처럼, 곡선 위의 점을 생각할 경우,

그 점의 다음 순간의 변화를 '순간기울기'라고 합니다.

즉, 순간기울기라는 말은 '곡선 위의 각 점들의 기울기'라는 말이 되겠죠.

제트코스터의 레일이 갑자기 뚝 끊겼다!

그 위에 달리고 있던 제트코스터는 어떻게 될까요?

그 방향으로 똑바로 날아갈텐데요,

수학적으로 보자면, 제트코스터가 날아간 방향은 "곡선의 접선"이 되겠죠!

순간기울기, 다른 표현을 쓰자면,

곡선의 각 순간의 속도라는 말도 있겠죠.

이 말이 이해가 가시나요?

사실 이 것을 바로 수학적 용어로 "미분"이라고 부른답니다.

제트코스터의 레일은 마이너스값(음수)이 나올 수 없겠지만,

제트코스터의 순간기울기(속도), 즉 미분값은 마이너스값이 가능하겠죠?

이 점도 이해하고 넘어가야 할 점입니다.

계속 직진을 하는 그래프라고 하더라도 속도가 감소한다면, 미분값 또한 감소할테니까요.

그래프를 보고 속도값을 낼 수 있을텐데,

예를 들어 다음과 같이

상승-하강-상승-하강(↗↘↗↘)

이런 식으로 상태를 표시한 것을 "증감표"라고 합니다.

이런 점이 일상에서는 어떤 식으로 쓰일까요?

어떤 주식의 그래프의 경우,

계속 상승하고 있는 추세를 보이고 있다고 가정합시다.

이 주식을 더 매수해도 될까요?

만약 '기울기 그래프' 즉, 기울기의 변화가 어떤지에 대한 정보를

하나 더 알 수 있게 된다면 상황 판단에 더 도움이 되지 않겠어요?

기울기란 결국 '변화의 정도'를 나타내는 말이니까요.

이번엔 물리역학과 미분을 연관지어볼께요.

자이로드롭이 높은 곳에 위치해있다고 가정해봅시다.

하지만, 정작 떨어지지 않으면(위치E가 변하지 않으면), 속도는 0이겠죠.

속도가 없으면 가속도도 없을 거구요.

이 위치E의 그래프를 생각해봅시다.

출발하지 않았다는 것은 기울기가 없다는 소리죠?

자이로드롭의 경우, 0이 된 건 뭐였죠?

속도죠.

자이로드롭이 떨어지는 경우,

기울기가 생기게 되면서 동시에 속도도 증가합니다.

즉, 정리해보자면,

위치 그래프의 기울기는 속도가 됩니다.

같은 의미에서, 속도 그래프의 기울기는 가속도가 되구요.

그러면 이제,

실제로 미분값을 어떻게 구하는지에 대해서 생각해보도록 해요.

기울기 구하는 공식이 뭐였죠?

세로 길이 / 가로길이

이것은 절대 불변의 원칙이죠.

직선의 경우, 이 방법을 통해 쉽게 구하겠지만,

곡선의 경우에는 이 "세로 길이 / 가로 길이" 값이 계속 변한다는 점에서,

이런 식으로 기울기를 구할 수 없다는 벽에 부딪치게 되죠.

자, 그럼 몇 가지 전제를 깔아봅시다.

빨간 점 A에서의 기울기를 구한다고 가정하고, 

아무 곳에나 점 두 개를 찍습니다.

"x값이 3,5일 때"라든지 정하는 것은 자유겠죠.

그 찍은 두 점을 잇는 선을 끝없이 점 A쪽으로 접근시키다보면,

결국 A에만 접하는 선이 보일 겁니다.

극한 개념 기억하시나요?

그런 극한의 개념을 동원해 한없이 가까이 접근시켜 본 것입니다. 

하지만,

'아무리 접근해도 같은 값은 아니'기 때문에

이 값을 따로 "극한값"이라는 용어로 사용합니다.

이런 극한의 개념을 통해 점 A의 미분값을 구해내는 것이죠.

이제 이것을 수식화 해봅시다.

위의 그래프를 적당히 라고 해봅시다.

그래프 위의 적당히 한 점 A 을 찍고,

거기서부터 h만큼 x값이 +된 상태의 점 B

 두 점을 잡습니다.

이 때 직선 AB의 기울기는 "세로/가로"이므로,

B의 높이에서 A의 높이를 빼서 x값인 h만큼으로 나눠준 값이 됩니다.

위에서 미분값을 구하고자 했을 때,

어떤 한 점의 위치까지 접선을 이동시켰던 것 기억하시나요?

여기서도 그 방법을 써봅시다.

값을 한없이 작게 만들어서 0에 극한 시키면 어떻게 될까요?

이 경우,

점 B가 점점 점 A로 접근해가면서

점 A에만 접한 접선의 기울기값을 구할 수 있을 거에요.

즉, 수식으로 표현한다면 아래의 형태가 되겠죠.

일반화 한다면 위의 수식은

결국 의 기울기가 되는데요.

a라는 것은 x값이 a일 때의 기울기를 의미하기 때문이죠.

첫번째 나온 미분 공식입니다.

를 미분하면 그 값은,

가 됩니다. 

이 때 주의할 점은,

h는 0에 한없이 가까운 값이지만 0은 아니므로

약분을 통해 제거해주어야 한다는 점입니다.

이 공식을 통해 어떤 함수의 한 점 (x,y)에서의 기울기를 구할 수 있습니다.

위의 함수 를 

의 "도함수"라고 부릅니다.

"미분한다"라는 말은 "도함수를 구한다"라는 말과 같게 되죠.

도함수를 수식으로 표시할 때에는

 혹은 로 쓰게 되고,

전자의 경우 "에프 프라임 엑스"라고 읽습니다.

이런 표기법은 라그랑주라는 학자에 의해 고안되었습니다.

하지만, 이 방법은 표기가 편하다는 장점을 갖는 대신에,

"무엇으로 미분하는가?"에 대해 명확하지 못하다는 단점이 있습니다.

변수가 항상 x 하나일 수는 없는 노릇이거든요.

그래서 새로 나온 방법이 라이프니츠가 고안한 표기법입니다.

,,

이 세가지 경우인데요,

"y를 x로 미분한다"라는 뜻이죠.

(d는 미분을 의미하는 differential의 머리글자입니다.)

위와 같이 만들어지는 삼각형에서 가로의 길이를 dx , 세로 길이를 dy라고 한다면,

기울기는 dy/dx로 표현되겠죠?

라이프니츠의 표기법은 여기서 나온 표현법입니다.

이 경우, 를 의 형태로 표시하기도 하는데,

부분을 "x로 미분하라는 명령"으로 인식합니다.

특별히 이 명령을 전문용어로 '연산자'라고 하는데,

그래서 를 "미분연산자"라고 부릅니다.

기초적인 이론은 여기까지 하고,

이제부터는 실제로 문제에 적용할 수 있는 공식들을 유도해보려고 해요.

 (P는 정수)

 (P는 정수)

기본적으로 볼 것은 위의 3가지인데요, 차례로 살펴보려고 해요.

우선 "y=p"라는 상수함수를 생각해봅시다. 

기울기가 없는 직선이죠?

그러므로 미분값도 0이 됩니다.

이 말을 수식으로 풀어놓은 것이

바로 (P는 정수)라는 표현이에요.

이어서 "y=px"라는 1차 함수를 생각해봅시다.

기울기가 변화없이 일정한 직선이죠.

그러므로 미분값도 일정한 값인 p가 됩니다.

이 말을 수식으로 풀어놓은 것이

바로 (P는 정수)라는 표현이구요.

마지막 

이것은 실험적으로 증명된 공식이에요.

덧셈과 미분은 어느 쪽을 먼저 해도 상관 없다는 말이죠.

한꺼번에 미분한 것과, 전개해서 미분한 것은 값이 동일하니,

안심하고 전개합시다!

미분 공식 중 가장 많이 사용되는 공식은 n승에 관한 공식과,

곱의 미분을 덧셈의 형태로 바꾸어 주는 공식입니다.

두번째 경우를 잠깐 예를 들자면,

의 식을 무턱대고 전개한 후에

그 식을 다시 미분하는 것보다는 두번째 공식을 이용하여

형태로 가는 것이 더 쉽고 빠르다는 거죠.  

이 둘을 종합해놓은 것이 바로 "합성함수의 미분"입니다.

이런 것 어떻게 계산하시겠습니까?

전개해본다는 것만으로도 끔찍하죠..

이런 합성함수의 경우 (ax+b)을 임의의 문자 u로 치환시켜 보겠습니다.

그렇게 변환된 f(x)인 y를, u로 미분하면,

그 값은 아래의 형태를 띄게 될 것입니다.

 마찬가지로, "u=(ax+b)"를 x에 대해 미분하면 아래의 형태가 됩니다.

우리가 최초로 구하고자 하는 미분식은

입니다.

알고 있는 값은 와 

이 둘이죠.  

이 둘을 곱해주면 원래 구하기로 했던 미분값을 구할 수 있겠죠?

이런 방식으로 합성함수의 미분값을 구해낼 수 있습니다.

잡설로, 미분을 이용해 삼차함수의 그래프를 그리는 이야기를 해보자면요.

삼차함수를 미분하여 나온 식은 기울기에 관한 식이겠죠?

그 때의 값이 0이 되는 두 x값을 찾아내어

그 값을 중심으로 그래프를 그려주면 된답니다.

이 점을 특별히 변곡점이라고 부르고

이 때의 y값을 극값이라고 불러요.

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